Кузнецов Л.А. Ряды. Задача 5

Признак Даламбера

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами

,

где  содержит произведения многих сомножителей (например, степени и факториалы).

План решения.

Признак Даламбера. Пусть дан ряд с положительными членами . Если существует предел

,

то при  ряд сходится, а при  расходится. Если , то признак Даламбера ответа не дает и требуется дополнительное исследование ряда.

1. Проверяем, что , т.к. если , то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. Проверяем, что  для всех .

3. Вычисляем предел

.

4. Применяем признак Даламбера и делаем вывод о сходимости или расходимости исследуемого ряда.

Замечание. Если общий член исследуемого ряда имеет сложный вид, то в таком случае следует воспользоваться предельным признаком сравнения и применить признак Даламбера к упрощенному ряду.

Задача 5. Исследовать на сходимость ряд.

.

Сравним данный ряд с рядом . Мы можем это сделать согласно предельному признаку сравнения:

.

Воспользуемся признаком Даламбера:

Ряд  сходится. Значит сходится и исследуемый ряд.

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей