Кузнецов Л.А. Ряды. Задача 4

Вторая (предельная) теорема сравнения

Постановка задачи. Исследовать сходимость ряда с положительными членами

.

План решения.

1. Проверяем, что , т.к. если , то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

2. Проверяем, что  для всех .

3. Делаем вывод о сходимости или расходимости ряда, используя вторую (предельную) теорему сравнения:

Пусть даны два ряда  и , причем существует номер  такой, что при всех   и . Если существует конечный и отличный от нуля предел

,

то ряды  и  либо оба сходятся, либо оба расходятся одновременно.

В качестве эталонного ряда  обычно используют либо обобщенный гармонический ряд , который сходится при  и расходится при , либо геометрический ряд , который сходится при  и расходится при . Таким образом, необходимо найти последовательность  (или ) такую, что

 (или ) при .

Вывод: по второй (предельной) теореме сравнения исходный ряд  сходится, если  () и расходится, если  ().

Задача 4. Исследовать на сходимость ряд.

.

Сравним данный ряд с рядом . Мы можем это сделать согласно предельному признаку сравнения:

.

Ряд  сходится согласно интегральному признаку Коши:

.

Значит, сходится и исследуемый ряд.

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей