Глава VII. Восемнадцатое столетие

5. Поучительно указать не только на то, что Эйлер внес в науку, но и на некоторые его слабости. В восемнадцатом столетии еще достаточно беззаботно обращались с бесконечными процессами и многое в трудах ведущих математиков этого периода производит на нас впечатление безудержного и восторженного экспериментирования. Экспериментировали с бесконечными рядами, с бесконечными произведениями, с интегрированием, с использованием таких символов, как . Если многие из выводов Эйлера можно принять сегодня, то есть другие результаты, относительно которых надо делать оговорки. Например, мы принимаем утверждение Эйлера, что  имеет бесконечно много значений, которые все являются комплексными числами, за исключением того случая, когда , тогда одно из значений действительно. Эйлер пришел к этому выводу в письме к Даламберу (1747 г.), который утверждал, что . Но мы не можем согласиться с Эйлером, когда он пишет, что , или когда он из того, что

и

,

заключает, что

.

Все же нам надо соблюдать осторожность и не критиковать слишком поспешно Эйлера за его обращение с расходящимися рядами: он попросту не всегда пользовался некоторыми из наших нынешних признаков сходимости или расходимости как критериями законности своих рядов. Многое в его считавшихся необоснованных работах о рядах было строго истолковано современными математиками.

Однако мы не можем восторгаться тем способом, которым Эйлер обосновывает анализ, вводя нули различных порядков. Бесконечно малая величина, писал Эйлер в «Дифференциальном исчислении» (1755 г.), – это действительно нуль

.

«Стало быть, существует бесконечно много порядков бесконечно малых величин, и хотя все эти величины равны нулю, следует четко отличать их друг от друга, если мы обращаемся к их взаимозависимости, выражающейся геометрическим отношением».

В целом вопрос об основании анализа оставался предметом обсуждения, равно как и все вопросы, относившиеся к бесконечным процессам. «Мистический период» в обосновании анализа (мы пользуемся термином, предложенным Карлом Марксом) в свою очередь порождал мистицизм, заходивший гораздо дальше того, что мы находим у основателей анализа. Гвидо Гранди, монах и профессор в Пизе, известный своим исследованием лепестковых кривых и других кривых, напоминающих цветки, рассматривал формулу

следовательно , как символ творения из ничего. Он получил результат , применив такое истолкование: отец завещает драгоценный камень двум своим сыновьям с тем, что каждый может пользоваться драгоценностью поочередно один год; следовательно, камень принадлежит каждому сыну наполовину.

Пусть эйлерово обоснование анализа имело свои слабые стороны, но свою точку зрения Эйлер во всяком случае высказал вполне определенно. Даламбер в некоторых статьях «Энциклопедии» пытался дать такое обоснование другими средствами. Ньютон пользовался выражением «первое и последнее отношение» для «флюксии», имея в виду первое или последнее отношения двух только что возникших величин. Даламбер заменил это понятием предела: Он называет одну величину пределом другой, если вторая, приближаясь к первой, отличается от нее менее чем на любую заданную величину. «Дифференцирование уравнений состоит попросту в том, что находят пределы отношения конечных разностей двух переменных, входящих в уравнение». Это было, наряду с идеями Даламбера о бесконечных различных порядков, значительным шагом вперед. Однако его современников было не так легко убедить в важности этого шага, и когда Даламбер говорил, что секущая становится касательной при слиянии двух точек пересечения в одну, чувствовалось, что он не преодолел трудностей, присущих парадоксам Зенона. В конце концов, достигает ли переменная величина своего предела, или она никогда его не достигает?

Мы уже упоминали о критике ньютоновских флюксий епископом Беркли. Джордж Беркли, первый настоятель в Дерри, после 1734 г. – епископ в Южной Ирландии, а с 1729 до 1731 г. пребывавший в Ньюпорте, штат Род Айленд, прежде всего известен как крайний идеалист («быть – значит восприниматься»). Он был огорчен тем, что ньютонова наука поддерживает материализм, и он напал на теорию флюксий в своем «Аналисте» (Analyst, 1734 г.). Он издевался над бесконечно малыми как над «тенями усопших величин»; если  получает приращение , то приращение , разделенное на , есть

Это получается в предположении, что  отлично от нуля. Однако флюксию от , то есть , получают, считая  равным нулю, что сразу изменяет исходное предположение об отличии  от нуля. Это было «явным софизмом», который Беркли открыл в анализе, и он был убежден, что верные результаты анализа получаются за счет компенсации ошибок. Логически флюксии нельзя принимать во внимание. «Но тот, кто может переварить вторую или третью флюксию, вторую или третью разность, – восклицал Беркли, обращаясь к неверующему математику (Галлею), – не должен, как мне кажется, придираться к чему-либо в богословии». Это не единственный случай, когда серьезные трудности в науке использовались, чтобы поддержать идеалистическую философию.

Джон Ланден, английский математик-самоучка, чье имя осталось в теории эллиптических интегралов, пытался найти свой метод для преодоления основных затруднений анализа. В своем «Анализе остатков» (Residual analysis, 1764 г.) он ответил на критику Беркли тем, что полностью избегал бесконечно малых; например, производную от  он находил, заменяя  на , после чего

становится равным , когда . Так как этот метод приводит при более сложных функциях к бесконечным рядам, он находится в известном родстве с более поздним алгебраическим методом Лагранжа.

5*. Для России, с которой Эйлер был связан в течение почти всей своей научной деятельности (в годы жизни в Берлине он оставался деятельным сочленом Петербургской академии, печатая в ее изданиях значительную часть своих работ, консультируя по различным вопросам, включая подбор сотрудников Академии, и руководя занятиями командированных к нему молодых ученых), его труды имели особое значение. Многие прикладные работы Эйлера, например по картографии и по морскому делу, были предприняты, чтобы дать ответ на запросы русских правительственных учреждений. В России печатались и трактаты Эйлера, и его учебники элементарного содержания, значительно повысившие уровень математического просвещения: «Руководство к арифметике» Эйлера вышло на русском языке двумя изданиями (1740 и 1760 гг.), «Универсальная арифметика» по-русски была издана раньше (1768–1769 гг.), чем ее немецкий оригинал, «Полное введение в алгебру» (1770 г.), и выдержала три издания. У Эйлера учились первые русские академики по математике (С К. Котельников, 1723–1806) и по астрономии (С. Я. Румовский, 1734–1812, известный также и как автор нескольких математических работ). Во второй петербургский период Эйлер становится центром целой группы ученых, в которую входят, кроме названных: его сын, И.А. Эйлер, чьи заслуги, впрочем, сводятся к тому, что он был «техническим» помощником отца; племянник Эйлера Н.И. Фусс (1755–1826), тоже помогавший почти слепому Эйлеру, автор многих оригинальных исследований, преимущественно по дифференциальной геометрии; А.И. Лекселль (1740–1781), известный своими работами по полигонометрии; астроном и геометр Ф.И. Шуберт (1758–1828). Самостоятельные математические исследования этих учеников Эйлера, состоят преимущественно в решении частных задач, поставленных в работах учителя или связанных с ними, притом с определенным геометрическим уклоном и в рамках эйлеровых методов и приемов. Такое направление вело в сторону от столбовой дороги математики того времени, и в девятнадцатом веке потребовались труды М.В. Остроградского и П.Л. Чебышева, чтобы придать новый блеск Петербургской математической школе.

6. Хотя Эйлер неоспоримо был ведущим математиком этого периода, во Франции по-прежнему появлялись вполне оригинальные работы. Здесь более чем в какой-либо другой стране математику рассматривали как науку, которая должна была довести теорию Ньютона до большего совершенства. Теория всемирного тяготения обладала большой привлекательностью в глазах философов Просвещения, которые пользовались ею как оружием в своей борьбе против остатков феодализма. Католическая церковь включила труды Декарта в индекс запрещенных книг 1664 г., но около 1700 г. его теории стали модными даже в консервативных кругах. Проблема: ньютонианство или картезианство – стала на некоторое время наиболее интересной темой не только для ученых, но и в салонах. «Письма об англичанах» (1734 г.) Вольтера много сделали для знакомства французских читателей с идеями Ньютона; подруга Вольтера мадам Дю Шатле даже перевела «Начала» на французский язык (1759 г.). Существенно спорным вопросом для обеих школ был вопрос о форме Земли.

Согласно космогонии, которую поддерживали картезианцы, Земля у полюсов была удлинена, а по теории Ньютона она должна была там быть сплющена. Картезианские астрономы Кассини (отец Шан Доминик и сын Жак; отец известен в геометрии благодаря овалам Кассини, 1680 г.) промерили дугу меридиана во Франции между 1700 и 1720 гг. и отстаивали картезианский вывод. Возник спор, в котором приняли участие многие математики. В 1735 г. в Перу послали экспедицию, за которой в 1736–1737 гг. последовала другая экспедиция в Лапландию, под руководством Пьера Мопертюи, с целью промерить градус долготы. В результате обеих экспедиций восторжествовала теория Ньютона, это было как ее триумфом, так и триумфом самого Мопертюи. Отныне знаменитый «Великий сплющиватель» стал президентом Берлинской академии и много лет купался в лучах своей славы при дворе Фридриха II. Это продолжалось до 1750 г., когда он вступил в горячий спор со швейцарским математиком Самуилом Кёнигом относительно принципа наименьшего действия в механике, указанного, быть может, уже Лейбницем. Мопертюи, как Ферма до него и Эйнштейн после него, искал какой-то общий принцип, который мог бы объединить законы вселенной. Формулировка Мопертюи не была отчетливой, он определял свое «действие» как величину  ( – масса,  – скорость,  – расстояние). У него это сочеталось с доказательством существования бога. Этот спор особенно обострился тогда, когда Вольтер высмеял неудачливого президента в своей «Диатрибе доктора Акакия, врача папы» (1752 г.). Ни поддержка короля, ни защита Эйлера не могли уже вернуть Мопертюи присутствие духа, и павший духом математик вскоре скончался в Базеле, в доме Бернулли.

Эйлер вновь выдвинул принцип наименьшего действия в формулировке, что должен быть минимумом , и, кроме того, он не вдавался в метафизику Мопертюи. Таким образом, этот принцип был поставлен на твердую почву, и им пользовался Лагранж, позже – Гамильтон. Значение «гамильтониана» в современной математической физике показывает, насколько существенным было то, что внес Эйлер в спор между Мопертюи и Кёнигом.

Среди математиков, побывавших вместе с Мопертюи в Лапландии, был Алексис Клод Клеро. Клеро восемнадцати лет от роду опубликовал «Изыскания о кривых двоякой кривизны» (Recherches sur les courbes a double courbure), первый опыт в области аналитической и дифференциальной геометрии пространственных кривых. По возвращении из Лапландии Клеро опубликовал свою «Теорию фигуры Земли» (Theorie de la figure de la Terre, 1743 г.), образцовое произведение no гидростатике и притяжению эллипсоидов вращения. Лаплас мог его улучшить лишь в незначительных деталях. В числе главных результатов этой работы – условие полноты дифференциала . За этой книгой последовала «Теория Луны» (Theorie de la lune, 1752 г.), содержавшая дополнения к эйлеровой теории движения Луны и к общей задаче трех тел. Клеро принадлежат также результаты в теории криволинейных интегралов и дифференциальных уравнений. Один из типов рассмотренных им дифференциальных уравнений известен под его именем, и с этим связан один из первых примеров особых решений.

7. Интеллектуальная оппозиция старому режиму после 1750 г. имела своим центром знаменитую «Энциклопедию» (1751–1772 гг., 28 томов). Ее редактором был Дени Дидро, под чьим руководством «Энциклопедия» стала подробным изложением философии века Просвещения. Дидро не обладал большими познаниями в математике, ведущим математиком энциклопедистов был Жан ле Рон Даламбер, внебрачный сын аристократической дамы, оставленный как подкидыш вблизи церкви святого Жана ле Рона в Париже. Его ранние и блестящие успехи облегчили его карьеру. В 1754 г. он стал «непременным секретарем» Французской академии и в качестве такового наиболее влиятельным ученым Франции. В 1743 г. появился его «Трактат по динамике» (Traite de la dynamique), который содержит метод сведения динамики твердых тел к статике, известный как «принцип Даламбера». Он продолжал писать по многим прикладным вопросам, в частности по гидродинамике, аэродинамике и задаче трех тел. В 1747 г. он опубликовал теорию колебания струн, что делает его, вместе с Даниилом Бернулли, основателем теории уравнений в частных производных. Тогда как Даламбер и Эйлер нашли решение уравнения  в виде , Бернулли решил это уравнение при помощи тригонометрических рядов. Возникли серьезные сомнения относительно характера этого решения: Даламбер считал, что начальная форма струны может быть задана только одним-единственным аналитическим выражением, в то время как Эйлер полагал, что допустима любая непрерывная кривая. Бернулли утверждал, вопреки Эйлеру, что его решение в виде ряда является вполне общим. Полного разъяснения этого вопроса придаюсь ждать до 1814 г., когда Фурье устранил сомнения относительно законности представления «любой» функции тригонометрическим рядом.

Даламберу не составляло труда писать по многим вопросам, включая даже вопросы обоснования математики. Мы упоминали о том, что он ввел понятие предела. «Основную теорему алгебры» иной раз называют теоремой Даламбера, так как он пытался ее доказать (1746 г.), а «парадокс Даламбера» в теории вероятностей показывает, что он, хотя и не очень успешно, размышлял об основах этой теории.

Теория вероятностей быстро развивалась в течение этого периода главным образом благодаря дальнейшей разработке идей Ферма, Паскаля и Гюйгенса. За «Ars conjectandi» последовали другие книги, среди них «Учение о случае» (The Doctrine of Chance, 1716 г.), написанная Авраамом де Муавром, французским гугенотом, который поселился в Лондоне после отмены Нантского эдикта (1685 г.) и зарабатывал там на жизнь частными уроками. Имя де Муавра связано с тригонометрической теоремой, которая в ее современной форме  впервые появляется во «Введении» Эйлера. В 1733 г. Муавр вывел функцию нормального распределения как аппроксимацию биномиального закона и дал формулу, равносильную формуле Стирлинга. Джеймс Стирлинг, английский математик школы Ньютона, опубликовал свой ряд в 1730 г.

Многочисленные лотереи и страховые компании, которые организовались в течение этого периода, вызвали у многих математиков, включая Эйлера, интерес к теории вероятностей. Это повело к попыткам применить учение о вероятностях в новых областях. Бюффон, известный как автор «Естественной истории» (36 увлекательно написанных томов) и знаменитого рассуждения о стиле (1753 г.; «стиль – это человек»), в 1777 г. дал первый пример геометрической вероятности. Это была так называемая задача об игле, которая занимала многих, так как она давала возможность экспериментально определить число , бросая иголку на плоскость, покрытую параллельными и равноудаленными прямыми, и подсчитывая число пересечений иголки с этими прямыми.

К этому периоду относятся также попытки применить теорию вероятностей к суждениям человека; например, подсчитывали шансы на то, что какой-либо трибунал сможет вынести правильный приговор, если для каждого из свидетелей можно указать число, выражающее вероятность того, что он будет говорить правду. Эта забавная «вероятность суждений», которая отдает философией века Просвещения, занимает видное место в трудах маркиза Кондорсе; она появляется еще у Лапласа и даже у Пуассона (1837 г.).

Следующая страница

VIP Казань — Казань для достойных людей