Глава VI. Семнадцатое столетие

1. Стремительное развитие математики в эпоху Возрождения было обусловлено не только «счетным уклоном» (Rechenhaftigkeit) купеческого класса, но и эффективным использованием и дальнейшим усовершенствованием машин. Восток и классическая древность пользовались машинами, машинами вдохновлялся гений Архимеда. Однако существование рабства и отсутствие экономически прогрессивного городского уклада жизни сводили на нет пользу от машин в этих более древних общественных формациях. На это указывают труды Герона, в которых есть описание машин, но только предназначенных для развлечения или мистификации.

Во времена позднего средневековья машины вошли в употребление в небольших мануфактурах, на общественных стройках и в горном деле. Все это были предприятия, организованные городскими купцами или владетельными князьями прибыли ради; часто это происходило в борьбе с городскими гильдиями. Военное дело и навигация также побуждали совершенствовать орудия труда и в дальнейшем заменять их машинами.

Уже в начале четырнадцатого столетия в Лукке и в Венеции существовала хорошо организованная шелковая промышленность. Она основывалась на разделении труда и на использовании энергии воды. В пятнадцатом столетии в Центральной Европе горное дело развилось в капиталистическую промышленность, технической основой которой было использование насосов и подъемных машин, что позволяло вести бурение до все более глубоких пластов. Изобретение огнестрельного оружия и книгопечатания, строительство ветряных мельниц и каналов, постройка судов для океанского плавания требовали инженерного искусства и заставляли задумываться над техническими проблемами. Благодаря усовершенствованию часов, которыми пользовались астрономы и мореплаватели и которые часто устанавливались в общественных местах, замечательные произведения механического искусства стали доступны общему обозрению. Правильность движения часов и те возможности, которые они давали для точного указания времени, производили глубокое впечатление на философски настроенные умы. В эпоху Возрождения и даже в течение последующих столетий часы рассматривали как модель вселенной. Это оказало существенное влияние на развитие механистической концепции мира.

От машин путь вел к теоретической механике и к научному изучению движения и изменения вообще. Античность уже дала трактаты по статике, и исследования по теоретической механике нового времени, естественно, опирались на статику классических авторов. Задолго до изобретения книгопечатания появлялись книги о машинах, сначала эмпирические описания (Киезер (Kyeser), начало пятнадцатого века), затем более теоретические, как книга Леона Баттисты Альберти об архитектуре (ок. 1450 г.) и рукописи Леонардо да Винчи (ок. 1500 г.). В рукописях Леонардо в зародыше содержалась вполне механистическая теория природы. Тарталья в своей «Новой науке» (1537 г.) рассматривал конструкцию часов и траектории снарядов, но он еще не обнаружил параболической орбиты, впервые открытой Галилеем. Опубликование латинских изданий Герона и Архимеда способствовало такого рода исследованиям. Особое значение имело издание Архимеда, выполненное Ф. Коммандино, которое появилось в 1558 г. и сделало доступным математиком античный интеграционный метод. Сам Коммандино применил эти методы для вычисления центров тяжести (1565 г.), хотя с меньшей, строгостью, чем его учитель.

Вычисление центров тяжести стало любимым предметом у изучавших Архимеда, так как они старались применить статику, чтобы овладеть методами, в которых мы сейчас узнаем зародыши анализа.

Среди последователей Архимеда выдающееся место занимают Симон Стевин, который написал работы о центpax тяжести и по гидравлике (1586 r.), Лука Валерио, давший работы о центрах тяжести (1604 г.) и о квадратуре параболы (1606 г.), и Пауль Гульдин, в сочинении которого «Центробарика» (1641 г.) мы находим так называемую теорему Гульдина о телах вращения, которую в свое время разъяснял Папп. Вслед за этими пионерами появились великие творения Кеплера, Кавальери и Торричелли, развивавшие те методы, которые в конечном счете привели к созданию анализа.

2. Для этих авторов типичной была их склонность пренебрегать архимедовой строгостью ради соображений, которые часто исходили из нестрогих, иной раз атомистических допущений. Вероятно, они не знали, что Архимед в своем письме к Эратосфену тоже пользовался такими методами благодаря их эвристической ценности. Вызвано это было отчасти неудовлетворенностью схоластикой некоторых, хотя и не всех авторов; среди этих пионеров были католические священники, натренированные в схоластических тонкостях. Основной причиной было стремление получать результаты, чего при греческом методе нельзя было быстро добиться.

Революция в астрономии, связанная с именами Коперника, Тихо Браге и Кеплера, позволила совершенно по новому взглянуть на место человека во вселенной и на возможности человека рациональным образом объяснить астрономические явления. То, что небесная механика давала возможность пополнить земную механику, придавало смелости людям науки. Стимулирующее влияние новой астрономии в проблемах, связанных с большими вычислениями, а также с инфинитёзимальными соображениями, особенно хорошо видно в трудах Иоганна Кеплера. Кеплер даже отважился на вычисление объемов ради самого этого вычисления, а в своей «Стереометрии винных бочек» (1615 г.) он вычислял объемы тел, получающихся при вращении конических сечений вокруг оси, лежащей с ними в одной плоскости. Кеплер отказался от архимедовой строгости; у него площадь круга состоит из бесконечно большого числа треугольников с общей вершиной в центре, а его сфера состоит из бесконечно большого числа утончающихся пирамид. Кеплер говорил о доказательствах Архимеда, что они абсолютно строги, «абсолютны и во всех отношениях совершенны», но он оставлял их для людей, склонных увлекаться точными доказательствами. Каждый последующий автор был волен ввести строгость на свой лад или пренебречь ею.

Галилео Галилей дал нам новую механику свободно падающих тел, был основателем теории упругости и вдохновенным защитником системы Коперника. Но, прежде всего, мы обязаны Галилею, более чем какому-либо другому деятелю этого периода, духом современной науки, основанной на гармонии эксперимента и теории. В своих «Беседах» (1638 г.) Галилей пришел к математическому изучению движения, к зависимости между расстоянием, скоростью и ускорением. Он ни разу не изложил систематически свои идеи относительно анализа, предоставив это своим ученикам Торричелли и Кавальери. А идеи Галилея в вопросах чистой математики были весьма оригинальны, как видно из его замечания, что «число квадратов не меньше, чем множество всех чисел, и последнее не больше, чем первое». Такая защита актуально бесконечного (со стороны Сальвиати в «Беседах») сознательно направлена против учения Аристотеля и схоластов (которое представляет Симпличо). «Беседы» содержат также параболическую орбиту снаряда, таблицы для высоты и дальности в зависимости от угла возвышения и заданной начальной скорости. Сальвиати указывает, что цепная линия сходна с параболой, но не дает точного описания этой кривой.

Наступило время для первого систематического изложения результатов, достигнутых в той области, которую мы сейчас называем анализом. Такое изложение было дано в «Геометрии» Бонавентуры Кавальери (1635 г.), профессора Болонского университета. Кавальери построил упрощенную разновидность исчисления бесконечно малых, основанную на схоластическом представлении о неделимых, так, что точка порождает при движении линию, а линия – плоскость. Таким образом, у Кавальери не было бесконечно малых или атомов. Он получал свои результаты с помощью «принципа Кавальери», согласно которому два тела одинаковой высоты имеют один и тот же объем, если плоские сечения этих тел на одинаковом уровне имеют одинаковые площади. Это позволило ему выполнить вычисление, равносильное интегрированию многочленов.

Сначала, чтобы получить площадь, он складывал отрезки, но когда Торричелли показал, что таким способом можно доказать, что любой треугольник делится высотой на две равновеликие части, Кавальери заменил «отрезки» «нитями», то есть он превратил отрезки в площади весьма малой ширины.

3. Это постепенное развитие анализа получило мощный импульс, когда была опубликована «Геометрия» (1637 г.) Декарта, которая включила в алгебру всю область классической геометрии. Эта книга первоначально была опубликована в качестве приложения к «Рассуждению о методе», рассуждению, в котором автор излагает свой рационалистический подход к изучению природы. Рене Декарт был родом из Турени (Франция), вел жизнь дворянина, некоторое время служил в армии Морица Оранского, в течение многих лет жил в Голландии и умер в Стокгольме, куда он был приглашен шведской королевой. Вместе со многими другими великими мыслителями семнадцатого века Декарт искал общий метод мышления, который бы позволял быстрее делать изобретения и выявлять истину в науке. Так как единственной наукой о природе, обладавшей в известной мере систематическим строением, была тогда механика, а ключ к пониманию механики давала математика, то математика стала наиболее важным средством для понимания вселенной. Более того, математика со своими убедительными утверждениями сама была блестящим примером того, что в науке можно найти истину. Таким образом, механистическая философия этого периода приводила к выводу, сходному с тем, к которому пришли платоники, но исходя из других соображений. И платоники, верившие в авторитет, и картезианцы, верившие в разум, считали математику царицей наук.

Декарт опубликовал свою «Геометрию» в качестве применения своего общего метода объединения, в данном случае объединения алгебры и геометрии. Согласно общепринятой точке зрения заслуга книги Декарта состоит главным образом в создании так называемой аналитической геометрии. Верно то, что эта ветвь математики развивалась под влиянием книги Декарта, но «Геометрия» сама по себе вряд ли может рассматриваться как первый трактат по этому предмету. Там нет «декартовых осей», там не выведены уравнения прямой линии и конических сечений, хотя одно частное уравнение второго порядка истолковывается как определяющее собой коническое сечение. Более того, значительная часть книги представляет собой теорию алгебраических уравнений, там содержится «правило Декарта» для определения числа положительных и отрицательных корней.

Нам следует иметь в виду, что Аполлоний определил конические сечения с помощью того, что мы сейчас следуя Лейбницу, называем координатами, хотя числовых значений они не имели. Широта и долгота в «Географии» Птолемея были уже числовыми координатами. Папп в свое «Собрание» включил «Сокровищницу анализа» (Analyomenos), где нам надо только модернизировать обозначения, чтобы получить последовательное применение алгебры к геометрии. Даже графическое представление встречается до Декарта (Орезм). Заслуга Декарта прежде всего состоит в том, что он последовательно применил хорошо развитую алгебру начала семнадцатого века к геометрическому анализу древних и таким образом в огромной мере расширил область ее применимости. Затем заслугой Декарта является то, что он окончательно отбросил ограничение однородности его предшественников, что было недостатком и «видовой логистики» у Виета. Теперь рассматривались как отрезки. Алгебраическое уравнение стало соотношением между числами – новый шаг вперед по пути математической абстракции, необходимый для общей трактовки алгебраических кривых, и это можно рассматривать как окончательное принятие Западом алгоритмической алгебраической традиции Востока.

В обозначениях Декарта многое уже является современным: мы находим в его книге выражения вида

0,38 Kb ,

которые отличаются от наших собственно только тем, что Декарт еще пишет вместо (что мы еще встречаем даже у Гаусса), хотя он пишет вместо , вместо и т. д. В его книге разобраться нетрудно, но не следует там искать нашей современной аналитической геометрии.

Несколько ближе к такой аналитической геометрии подошел Пьер Ферма, юрист из Тулузы, который написал небольшую работу по геометрии, вероятно, до издания книги Декарта, но эта работа была опубликована только в 1679 г. Во «Введении» (Isagoge) Ферма мы находим уравнения

для прямых линий и конических сечений относительно некоторой системы (обычно перпендикулярных) осей. Впрочем, эта работа выглядит более архаичной, чем «Геометрия» Декарта, так как она написана в обозначениях Виета, а к тому времени, когда было напечатано «Введение» Ферма, уже появились другие работы, в которых алгебра была применена к результатам Аполлония, – прежде всего «Трактат о конических сечениях» (Tractatus de Sectionibus conicis, 1655 г.) Джона Валлиса и, частично, «Основы кривых линий» (Elementa curvarum linearum, 1659 г.), написанные Иоганном де Виттом, великим пенсионарием Голландии. Оба труда создавались под прямым влиянием Декарта. Однако прогресс шел очень медленно, и даже в книге Лопиталя «Аналитический трактат о конических сечениях» (Traite analytique des Sections coniques, 1707 г.) мы находим немногим больше, чем перевод Аполлония на язык алгебры. Все эти авторы не решались допускать отрицательные значения для координат. Первым, кто смело обращался с алгебраическими уравнениями, был Ньютон в своем исследовании кривых третьего порядка (1703 г.), а первую аналитическую геометрию конических сечений, вполне освободившуюся от Аполлония, мы находим только во «Введении» Эйлера (1748 г.).

4. Появление книги Кавальери побудило многих математиков различных стран заняться задачами, в которых применялись бесконечно малые. К основным проблемам стали подходить более абстрактным образом и при таком подходе выигрывали в общности. Задача о касательных, состоявшая в отыскании метода для проведения касательной к заданной кривой в заданной точке, все более и более выдвигалась на первый план наряду со старыми проблемами определения объемов и центров тяжести. В этой задаче выявились два направления, геометрическое и алгебраическое. Последователи Кавальери, особенно Торричелли и Исаак Барроу, пользовались греческим методом геометрического рассуждения, не слишком заботясь о его строгости. Христиан Гюйгенс тоже явным образом тяготел к греческой геометрии. Но были другие, в частности Ферма, Декарт и Джон Валлис, у которых проявлялась противоположная тенденция – они применяли новую алгебру. Практически все авторы, писавшие в 1630–1660 гг., ограничивались вопросами, касавшимися алгебраических кривых, в частности кривых с уравнением . Они находили, каждый своим способом, формулы, равносильные формуле 0,37 Kb , сначала для целого положительного , затем для целого отрицательного и дробного. Иной раз появлялась неалгебраическая кривая такая, как циклоида (рулетта), исследованная Декартом и Блезом Паскалем. «Общий трактат о рулетте» (Traite general de la roulette, 1658 г.) Паскаля (часть небольшой книги, опубликованной под именем А. Деттонвиля) оказал большое влияние на молодого Лейбница.

В этот период начали обозначаться некоторые характерные черты анализа. В 1638 г. Ферма открыл метод нахождения максимумов и минимумов с помощью незначительного изменения переменного в простом алгебраическом уравнении с последующим обращением этого изменения в нуль. Этот метод был перенесен на более общие алгебраические кривые Иоганном Гудде, бургомистром Амстердама, в 1658 г. Проводили касательные, вычисляли объемы и центры тяжести, но по-настоящему еще не уловили связи между интегрированием и дифференцированием как обратными операциями, пока это не было показано (1670 г.) Барроу, но в тяжеловесной геометрической форме. Паскаль при случае пользовался выражениями, куда входили малые количества и в которых он опускал члены более высокого порядка малости, предвосхищая спорное допущение Ньютона, что . Паскаль защищал свой прием, ссылаясь на интуицию больше, чем на логику, чем предвосхитил критику Ньютона со стороны епископа Беркли.

При этих поисках нового метода схоластические представления применялись не только Кавальери, но и в трудах бельгийского иезуита Григория Сен Венсана и его учеников и помощников Пауля Гульдина и Андре Такке. Эти люди вдохновлялись и духом своей эпохи, и средневековыми схоластическими писаниями о природе континуума и о протяженности форм. В их работах впервые появляется термин «исчерпывание» для обозначения метода Архимеда. Книга Такке «О цилиндрах и кольцах» (1651 г.) оказала влияние на Паскаля.

В эпоху, когда не существовало научных журналов, такая лихорадочная активность математиков находила свое выражение в оживленной переписке ученых и в деятельности дискуссионных кружков. Основной заслугой иных ученых было то, что они являлись как бы центрами научных связей. Более всего известен в этом отношении Марен Мерсенн, чье имя как математика сохранилось в термине «числа Мерсенна». В переписке с ним состояли Декарт, Ферма, Дезарг, Паскаль и многие другие ученые. Из дискуссионных кружков ученых вырастали академии. Они возникали в некотором роде как оппозиция университетам. Университеты развивались в период схоластики (за некоторыми исключениями, как Лейденский университет) и оставались покровителями средневекового подхода, требовавшего изложения науки в застывших формах. Новые академии, напротив, были проникнуты новым духом исследований. Они типичны «для этого времени, опьяненного обилием новых знаний, занятого искоренением изживших себя суеверий, порывающего с традициями прошлого, лелеющего самые неумеренные надежды на будущее. Тогда отдельный ученый научился быть довольным и гордым тем, что он добавил бесконечно малую частицу к общей сумме знаний; короче говоря, тогда возник современный ученый». Первая академия была основана в Неаполе (1560 г.), за ней последовала Accademia dei Lincei («Академия рысьих») в Риме (1603 г.). Лондонское королевское общество существует с 1662 г., Французская академия – с 1666 г. Валлис был членом-учредителем королевского общества; в первом составе членов Французской академии был Гюйгенс.

Следующая страница