Глава VI. Семнадцатое столетие

5. Наряду с книгой Кавальери одним из наиболее важных произведений этого «периода предтеч» была «Арифметика бесконечных» (Arithmetica infinitorum, 1655 г.) Валлиса. Ее автор с 1643 г. до своей смерти в 1703 г. был профессором геометрии в Оксфорде. Уже название книги показывает, что Валлис хотел пойти дальше, чем Кавальери с его «Геометрией неделимых»: Валлис хотел применить не геометрию древних, а новую «арифметику» (алгебру). Валлис был первым математиком, у которого алгебра по настоящему переросла в анализ. Методы обращения с бесконечными процессами, которыми пользовался Валлис, часто были примитивны, но он получал новые результаты: он вводил бесконечные ряды и бесконечные произведения и весьма смело обращался с мнимыми выражениями, с отрицательными и дробными показателями.

Он писал  вместо  (и утверждал, что ). Характерным для него результатом является разложение

.

Валлис был только одним из целого ряда блестящих представителей этого периода, обогащавших математику одним открытием за другим. Движущей силой в этом расцвете творческой науки, не имевшем себе равного со времен величия Греции, было не только то, что новой техникой можно было легко пользоваться. Многие крупные мыслители искали большего – «общего метода», который иной раз понимали в ограниченном смысле, как метод математики, иной раз понимали шире – как метод познания природы и создания новых изобретений. Это было причиной того, что в рассматриваемую эпоху все выдающиеся философы были математиками и все выдающиеся математики были философами. В поисках новых изобретений иногда непосредственно приходили к математическим открытиям. Знаменитым примером является работа «Маятниковые часы» (Horologium Oscillatorium, 1673 г.) Христиана Гюйгенса. В ней в поисках лучшего способа, измерения времени рассмотрены не только маятниковые часы, но изучаются также эволюты и эвольвенты плоской кривой.

Гюйгенс был голландцем, человеком зажиточным и в течение ряда лет жил в Париже. Он был столь же выдающимся физиком, как и астрономом, создал волновую теорию света и выяснил, что у Сатурна есть кольцо. Его книга о маятниковых часах оказала влияние на Ньютона. Для периода до Ньютона и Лейбница наряду с «Арифметикой» Валлиса эта книга представляет анализ в его наиболее развитой форме. Письма и книги Валлиса и Гюйгенса изобилуют новыми открытиями: спрямлениями кривых, квадратурами, построением обверток. Гюйгенс исследовал трактрису, логарифмическую кривую, цепную линию и установил, что циклоида – таутохронная кривая. Несмотря на это обилие результатов, многие из которых были получены уже после того, как Лейбниц опубликовал свое исчисление, Гюйгенс целиком принадлежит к периоду предтеч. Он признавался Лейбницу, что никогда не был в состоянии освоиться с его методом. Подобно этому Валлис никогда не чувствовал себя в своей тарелке, пользуясь обозначениями Ньютона. Надо сказать еще, что Гюйгенс был одним из немногих среди больших математиков семнадцатого века, кто заботился о строгости: его методы всегда были вполне архимедовыми.

6. Работы математиков этого периода охватывали много областей, новых и старых. Они обогатили оригинальными результатами классические разделы, пролили новый свет на прежние области и создавали даже совершенно новые области математических исследований. Примером первого рода может служить то, как Ферма изучал Диофанта. Примером второго рода является новая интерпретация геометрии Дезарга. Вполне новым творением была математическая теория вероятностей.

Диофант стал доступным для читающих на латинском языке в 1621 г. В своем экземпляре этого перевода Ферма сделал свои знаменитые заметки на полях (опубликованы сыном Ферма в 1670 г.). Среди них мы находим «великую» теорему Ферма о том, что уравнение  невозможно при целых положительных значениях , если , – в 1847 г. это привело Куммера к его теории идеальных чисел. Доказательства, пригодного для всех , до сих пор нет, хотя теорема несомненно верна для большого числа значений .

Ферма написал на полях против 8-й задачи II книги Диофанта «Разделить квадратное число на два других квадратных числа» следующие слова: «Разделить куб на два других куба, четвертую степень или вообще какую-либо степень выше второй на две степени с тем же обозначением невозможно, и я нашел воистину замечательное доказательство этого, однако поля слишком узки, чтобы поместить его». Если Ферма имел такое замечательное доказательство, то за последующие три столетия напряженных исследований такое доказательство не удалось получить. Надежнее допустить, что даже великий Ферма иногда ошибался.

В другой заметке на полях Ферма утверждает, что простое число вида  может быть одним и только одним образом представлено как сумма двух квадратов. Эту теорему позже доказал Эйлер. Еще одна «теорема Ферма», которая утверждает, что  делится на , когда  – простое число и  не делится на , высказана в письме от 1640 г.; эту теорему можно доказать элементарными средствами. Ферма был также первым, кто утверждал, что уравнение  ( – целое и не квадрат) имеет сколько угодно целых решений.

Ферма и Паскаль стали основателями математической теории вероятностей. Постепенное формирование интереса к задачам, связанным с вероятностями, происходило прежде всего под влиянием развития страхового дела, но те частные вопросы, которые побудили больших математиков поразмыслить над этим предметом, были поставлены в связи с играми в кости и в карты. Как выразился Пуассон, «задача, относившаяся к азартным играм и поставленная перед суровым янсенистом светским человеком, была источником теории вероятностей». Этим светским человеком был кавалер де Мере, который обратился к Паскалю с вопросом по поводу так называемой «задачи об очках». Паскаль завязал переписку с Ферма по поводу этой задачи и родственных вопросов, и они вдвоем установили некоторые из основных положений теории вероятностей (1654 г.). Когда Гюйгенс приехал в Париж, он узнал об этой переписке и попытался дать свое собственное решение, в результате чего появилась его книга «О расчетах при азартных играх» (De ratiociniis in ludo aleae, 1657 г.), первый трактат по теории вероятностей. Следующие шаги были сделаны де Виттом и Галлеем, которые составили таблицы смертности (1671, 1693 гг.).

Блез Паскаль был сыном Этьена Паскаля, корреспондента Мерсенна; кривая «улитка Паскаля» названа в честь Этьена. Блез быстро развивался под присмотром своего отца, и уже в шестнадцатилетнем возрасте он открыл «теорему Паскаля» о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение. Эта теорема была опубликована в 1641 г. на одном листе бумаги и повлияла на Дезарга. Через несколько лет Паскаль изобрел счетную машину. Когда ему было двадцать пять лет, он решил поселиться как янсенист в монастыре Лор-Рояль и вести жизнь аскета, но продолжал при этом уделять время науке и литературе. Его трактат об «арифметическом треугольнике», образованном биномиальными коэффициентами и имеющем применение в теории вероятностей, появился посмертно в 1664 г. Мы уже упоминали о его работах по интегрированию и о его идеях относительно бесконечного и бесконечно малого, которые оказали влияние на Лейбница. Паскаль первый придал удовлетворительную форму принципу полной индукции.

Жерар Дезарг был архитектором в Лионе. Он автор книги о перспективе (1636 г.). Его брошюра с любопытным названием «Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что получается при встрече конуса с плоскостью» (1639 г.) содержит некоторые из основных понятий синтетической геометрии такие, как точки на бесконечности, инволюции, полярные соотношения, – все это на курьезном ботаническом языке. Свою «теорему Дезарга» о перспективном отображении треугольников он обнародовал в 1648 г. Плодотворность этих идей в полной мере раскрылась лишь в девятнадцатом столетии.

7. Общий метод дифференцирования и интегрирования, построенный с полным пониманием того, что один процесс является обратным по отношению к другому, мог быть открыт только такими людьми, которые овладели как геометрическим методом греков и Кавальери, так и алгебраическим методом Декарта и Валлиса. Такие люди могли появиться лишь после 1660 г., и они действительно появились в лице Ньютона и Лейбница. Очень много написано по вопросу о приоритете этого открытия, но теперь установлено, что оба они открыли свои методы независимо друг от друга. Ньютон первым открыл анализ (в 1665–1666 гг.), Лейбниц в 1673–1678 гг., но Лейбниц первый выступил с этим в печати (Лейбниц в 1684–1686 гг., Ньютон в 1704–1736 гг. (посмертно)). Школа Лейбница была гораздо более блестящей, чем школа Ньютона.

Исаак Ньютон был сыном землевладельца в Линкольншире. Он учился в Кембридже, возможно, что у Исаака Барроу, который в 1669 г. передал, ему свою профессорскую кафедру (примечательное явление в академической жизни), так как Барроу открыто признал превосходство Ньютона. Ньютон оставался в Кембридже до 1696 г., когда он занял пост инспектора, а позже начальника монетного двора. Его исключительный авторитет в первую очередь основан на его «Математических принципах натуральной философии» (Philosophiae naturalis principia ma-thematica, 1687 г.), огромном томе, содержащем аксиоматическое построение механики и закон тяготения – закон, управляющий падением яблока на землю и движением Луны вокруг Земли. Ньютон строго математически вывел эмпирически установленные законы Кеплера движения планет из закона тяготения обратно пропорционально квадрату расстояния и дал динамическое объяснение приливов и многих явлений при движении небесных тел. Он решил задачу двух тел для сфер и заложил основы теории движения Луны. Решив задачу о притяжении сфер, он тем самым заложил основы и теории потенциала. Его аксиоматическая трактовка требовала абсолютности пространства и абсолютности времени, Трудно разглядеть за геометрической формой его доказательств, что их автор полностью владел анализом, который он называл теорией флюксий. Ньютон открыл свой общий метод в течение 1665–1666 гг., когда он находился на своей родине, в деревне, спасаясь от чумы, поразившей Кембридж. К этому времени относятся его основные идеи о всемирном тяготении, а также о сложном составе света. «В истории науки нет равного примера таких достижений, как достижения Ньютона в течение этих двух золотых лет», – заметил профессор Мор.

Открытие Ньютоном флюксий стоит в тесной связи с его изучением бесконечных рядов по «Арифметике» Валлиса. При этом Ньютон обобщил биномиальную теорему на случаи дробных и отрицательных показателей и таким образом открыл биномиальный ряд. Это в свою очередь значительно облегчило ему распространение его теории флюксий на «все» функции, будь они алгебраическими или трансцендентными. «Флюксия», которая обозначалась точкой, помещенной над буквой, была конечной величиной, скоростью, а буквы без точки обозначали «флюэнты». Мы приведем здесь пример того, как Ньютон разъяснял свой метод (из «Метода флюксий», 1736 г.). Переменные, являющиеся флюэнтами, обозначены через , «а скорости, с которыми каждая флюэнта увеличивается в силу порождающего движения (которые я могу назвать флюксиями или попросту скоростями или быстростями), я буду изображать теми же буквами с точкой, а именно ». Бесконечно малые у Ньютона именуются «моментами флюксий» и обозначаются через , где  – «бесконечно малое количество». Ньютон продолжает:

«Итак, пусть дано уравнение , подставим  вместо ,  вместо , тогда мы получим

Но согласно допущению , и, после исключения этого уравнения и деления остающихся членов на , у нас останется

.

Но поскольку нуль мы считаем бесконечно малым, так что он может представлять моменты количеств, то члены, которые умножены на него, суть ничто по сравнению с остальными; поэтому я отбрасываю их, и у нас остается ».

Этот пример показывает, что Ньютон первоначально считал свои производные скоростями, но он показывает также, что способ выражения Ньютона не был вполне определенным. Являются ли символы «» нулями? или бесконечно малыми? или это конечные числа? Ньютон пытался разъяснить свою точку зрения, с помощью теории «первых и последних отношений», которую он ввел в своих «Началах» и которая включала в себя понятие предела, но в таком виде, что применять его было трудно.

«Эти последние отношения исчезающих количеств не являются в точности отношениями последних количеств, а пределами, к которым постоянно приближаются отношения беспредельно убывающих количеств и к которым они приближаются более чем на любую заданную разность, но никогда не переходят через них и в действительности не достигают их ранее, чем эти количества не уменьшатся до бесконечности» («Начала», книга I, отдел I, последняя схолия).

«Количества, а также отношения количеств, которые в продолжение любого конечного времени постоянно приближаются к равенству и до истечения этого времени подходят одно к другому ближе, чем на любую заданную разность, становятся в конце концов равными» («Начала», книга I, отдел I, лемма I).

Это далеко не ясно, трудности, связанные с пониманием ньютоновой теории флюксий, повлекли за собой много недоразумений и вызвали суровую критику епископа Беркли в 1734 г. Эти недоразумения были устранены лишь после четкого установления современного понятия предела.

Ньютон писал также о конических сечениях и о плоских кривых третьего порядка. В «Перечислении линий третьего порядка» (Enumeratio linearum tertii' ordinis, 1704 г.) он дал классификацию плоских кривых третьей степени на 72 вида, исходя из своей теоремы о том, что каждую кубическую кривую можно получить из «расходящейся параболы»  при центральном проектировании одной плоскости на другую. Это было первым важным новым результатом, полученным путем применения алгебры к геометрии, так как все предыдущие работы были просто переводом Аполлония на алгебраический язык. Ньютону принадлежит также метод получения приближенных значений корней численных уравнений, который он разъяснил на примере уравнения

,

получив .

Трудно оценить влияние Ньютона на его современников из-за того, что он постоянно колебался, публиковать ли ему свои открытия. Впервые он проверил закон всемирного тяготения в 1665–1666 гг., но сообщил об этом лишь тогда, когда представил в рукописи большую часть своих «Начал» (1686 г.). Его «Всеобщая арифметика» (Arithmetiea universalis), составленная из лекций по алгебре, прочитанных между 1673 и 1683 гг., была напечатана в 1707 г. Его работа о рядах, восходящая к 1669 г., была предметом письма к Ольденбургу в 1676 г., а появилась в печати в 1711 г. Его работа о квадратуре кривых (1671 г.) была напечатана только в 1704 г., и тогда впервые миру стала известна теория флюксий. «Метод флюксий» появился только после смерти Ньютона, в 1736 г.

8. Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Лейпциге, а большую часть жизни провел при ганноверской дворе, на службе у герцогов, один из которых стал английским королем под именем Георга I. Лейбниц был еще более правоверным христианином, чем другие мыслители его столетия. Кроме философии, он занимался историей, теологией, лингвистикой, биологией, геологией, математикой, дипломатией и «искусством изобретения». Одним из первых после Паскаля он изобрел счетную машину, пришел к идее парового двигателя, интересовался китайской философией и старался содействовать объединению Германии. Основной движущей дружиной его жизни были поиски всеобщего метода для овладения наукой, создания изобретений и понимания сущности единства вселенной. «Общая наука» (Scientia universalis), которую он пытался построить, имела много аспектов, и некоторые из них привели Лейбница к математическим открытиям. Его поиски «всеобщей характеристики» привели его к занятиям перестановками, сочетаниями и к символической логике; поиски «всеобщего языка», в котором все ошибки мысли выявлялись бы как ошибки вычислений, привели его не только к символической логике, но и к многим новшествам в математических обозначениях. Лейбниц – один из самых плодовитых изобретателей математических символов. Немногие так хорошо понимали единство формы и содержания. На этом философском фоне можно понять, как он изобрел анализ: это было результатом его поисков «универсального языка», в частности языка, выражающего изменение и движение.

Лейбниц нашел свое новое исчисление между 1673 и 1676 гг. под личным влиянием Гюйгенса и в ходе изучения Декарта и Паскаля. Его подстегивало то, что он знал, что Ньютон обладал подобным методом. Подход Ньютона был в основном кинематическим; подход Лейбница был геометрическим: он мыслил в терминах «характеристического треугольника» (), который уже появлялся в нескольких других работах, а именно у Паскаля и в «Геометрических лекциях» (Geometrical Lectures, 1670 г.) Барроу. Впервые анализ в форме Лейбница был изложен им в печати в 1684 г. в шестистраничной статье в Acta Eruditorum, математическом журнале, который был основан при его содействии в 1682 г.

Характерно название этой статьи: «Новый метод для максимумов и минимумов, а также для касательных, для которого не являются препятствием дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления для этого». Изложение было трудным и неясным, но статья содержала наши символы  и правила дифференцирования, включая  и дифференцирование дроби, а также условие  для экстремальных значений и  для точек перегиба. За этой статьей последовала в 1686 г. другая статья с правилами интегрального исчисления и с символом  (она была написана в форме рецензии). Уравнение циклоиды было дано в виде

.

С появлением этих статей начался исключительно плодотворный период математической деятельности. После 1637 г. к Лейбницу присоединились братья Бернулли, которые с жадностью осваивали его методы. Еще до 1700 г. они втроем открыли значительную часть нашего основного курса анализа и несколько важных разделов в более сложных областях, включая решение некоторых задач вариационного исчисления. В 1696 г. появился первый учебник по анализу. Он был написан маркизом Лопиталем, учеником Иоганна Бернулли, опубликовавшим лекции своего учителя по дифференциальному исчислению в книге «Анализ бесконечно малых» (Analyse des infiniment petits). В этой книге мы находим, так называемое «правило Лопиталя» для нахождения предельного значения дроби, оба члена которой стремятся к нулю.

Нашими обозначениями в анализе мы обязаны Лейбницу, ему принадлежат и названия «дифференциальное исчисление» и «интегральное исчисление». Благодаря его влиянию стали пользоваться знаком «» для равенства и знаком «» для умножения. Лейбницу принадлежат термины «функция» и «координаты», а также забавный термин «оскулирующий» (целующий). Ряды

носят имя Лейбница, хотя не он первый их открыл. (По видимому, это сделал Джеймс Грегори, шотландский математик, который пытался также доказать невозможность квадратуры круга с помощью циркуля и линейки.)

Разъяснения Лейбница относительно оснований анализа страдали той же неопределенностью, как и разъяснения Ньютона. Иногда его  были конечными величинами, иногда же величинами меньше любого определенного количества и все-таки не нули. Не имея строгих определений, он прибегал к аналогиям, скажем, с соотношением между радиусом Земли и расстоянием до неподвижных звезд. В вопросах, касающихся бесконечного, он менял свою точку зрения; в одном из своих писем (к Фуше, 1693 г.) он принимал существование актуальной бесконечности, чтобы преодолеть трудности, указанные Зеноном, и хвалил Григория де Сен Венсана, который вычислил то место, где Ахиллес нагонит черепаху. Неясности у Ньютона вызвали критику Беркли, неясности у Лейбница вызвали выступление Бернарда Ньювентейта, бургомистра небольшого города вблизи Амстердама (1694 г.). Как критика Беркли, так и критика Ньювентейта имела свои основания, но и та и другая были целиком негативны. Их авторы не были в состоянии строго обосновать анализ, но все-таки такая критика побудила к дальнейшей конструктивной работе. Это особенно относится к остроумным замечаниям Беркли.

VIP Казань — Казань для достойных людей