решебник.ру - контрольные работы и типовые расчеты высшая математика кузнецов чудесенко
:: Главная страница | Решение задач: высшая математика, эконометрика, ::
Навигация

Решебник.Ру / Глава IV. Восток после упадка античного общества

Глава IV. Восток после упадка античного общества

5. Греческую традицию продолжала хранить школа ученых, добросовестно переводивших на арабский язык Аполлония, Архимеда, Евклида, Птолемея и других. Ставшее всеобщим применением названия «Алмагест» для «Большого собрания» Птолемея указывает на влияние арабских переводов на Запад. Благодаря этим воспроизведениям и переводам до нас дошли многие греческие классики, которые иначе оказались бы потерянными. При этом проявлялась естественная склонность подчеркивать вычислительную и практическую сторону греческой математики за счет ее теоретической части. Арабская астрономия особенно интересовалась тригонометрией – слово «синус» является латинским переводом арабского написания санскритского слова «джива». Значения синуса соответствовали полухорде двойного угла (Птолемей применял полную хорду) и рассматривались как отрезки, а не как числа. Значительная часть тригонометрии содержится в работах ал-Баттани (Альбатений, Albategnius, до 858—921), одного из великих арабских астрономов, который располагал также таблицей значений котангенса для каждого градуса («umbra extensa» – «развернутая тень») и умел решать задачи, сводившиеся к применению теоремы косинусов для сферических треугольников.

Труды ал-Баттани показывают, что арабы были не только переписчиками, овладев как греческими, так и восточными методами, они вносили новое. Абу-л-Вафа (940–997/8) вывел теорему синусов сферической тригонометрии, вычислил таблицу синусов с интервалом в 15', значения в которой точны до восьмого десятичного знака, ввел отрезки, соответствующие секансу и косекансу, и выполнил; много различных геометрических построений, применяя циркуль постоянного раствора. Он продолжал также, вслед за греками, изучение уравнений третьей и четвертой степени. Ал-Кархи (начало одиннадцатого столетия), : написавший алгебру «для подготовленных», причем он следовал Диофанту, располагал интересными результатами относительно иррациональных чисел, как, например, формулами 0,5 Kb. Он проявлял определенную склонность к грекам, его «пренебрежение индийской математикой было столь явным, что должно было иметь систематический характер».

6. Нам нет необходимости прослеживать многочисленные политические и этнологические изменения в мире ислама. Они вызывали подъемы и падения в развитии астрономии и математики; одни центры исчезали, другие в течение некоторого времени процветали, но по сути общий характер исламской науки оставался без изменений. Мы укажем здесь лишь на некоторые высшие точки.

Около 1000 г. н. э. в Северной Персии появились новые правители, турки-сельджуки, государство которых процветало в районе, прилегающем к центру оросительной системы Мерву. Здесь жил Омар Хайям (ок. 1038/48–1123/24), который стал известен на Западе как автор «Рубайят» (в переводе Фицджеральда, 1859 г.). Он был астрономом и философом:

(LIX)

                                                     Я рассчитал – твердит людей молва –
                                                     Весь ход времен. Но дней ведь только два
                                                     Изъял навек я из календаря:
                                                     Тот, что не знаем – завтра, не вернем – вчера.

По-видимому, Омар имеет здесь в виду свою реформу старого персидского календаря, после чего календарь давал ошибку в один день за 5000 лет (1540 или 3770 лет по другим интерпретациям), тогда как наш нынешний грегорианский календарь дает ошибку в один день за 3330 лет. Его реформа была осуществлена в 1079 г., но позже его календарь был заменен мусульманским лунным календарем. Омар написал «Алгебру» (полное название: «Трактат о доказательствах алгебры и алмукабалы») – выдающееся достижение, так как в ней содержится систематическое исследование уравнений третьей степени. Применяя метод, которым иной раз пользовались греки, он определял корни этих уравнений как общие точки двух конических сечений. Он не искал числовых решений и различал – тоже в стиле греков – «геометрические» и «арифметические» решения, причем последние рассматривались как существующие лишь тогда, когда значения, корней оказывались положительными рациональными числами. Таким образом, этот метод полностью отличался от метода болонских математиков шестнадцатого века, которые применяли чисто алгебраические приемы. В другой книге, в которой рассматриваются трудности у Евклида, Омар заменил аксиому параллельных целым рядом других допущений. Здесь он строил фигуры, которые можно связать с «гипотезами тупого, острого и прямого угла», как они сейчас используются в неевклидовой геометрии. Он заменил также евклидову теорию пропорций числовой теорией, причем он пришел к численному приближению иррациональностей и к общему понятию действительного числа.

После того как в 1256 г. монголы разграбили Багдад, неподалеку возник новый центр учености в виде Марагинской обсерватории, которая была построена монгольским правителем Хулагу для «нисбу» ат-Туси (в европейской литературе чаще Насирэ(д)дин Туей, 1201–1274). Здесь опять возникло учреждение, в котором сосредоточилась вся наука Востока и которое можно было сравнивать с научными центрами Греции. Ат-Туси отделил от астрономии тригонометрию как самостоятельную науку. Его попытки доказать аксиому о параллельных Евклида, причем он следовал ходу мыслей Омара Хайяма, показывают, что он ценил теоретический метод греков. Влияние ат-Туси ощутимо в Европе эпохи Возрождения, и еще в 1-65-1 и 1663 гг. Джон Валлис пользовался работой ат-Туси о постулате Евклида.

Ат-Туси был продолжателем традиций Омара и в своей теории пропорций, и в новых численных приближениях иррациональных чисел.

Другой персидский математик, ал-Каши (первая половина пятнадцатого столетия) проявляет большое искусство при выполнении вычислений, вполне сравнимое с тем, чего достигли европейцы в конце шестнадцатого века. Он решал уравнения третьей степени с помощью итерации и тригонометрическим методом, знал тот метод решения общих алгебраических уравнений высших степеней, который теперь носит имя схемы Горнера и обобщает метод извлечения корней более высокого порядка из обычных чисел (тут вероятно китайское влияние). В его трудах мы находим формулу бинома для любых положительных целых показателей. Наряду с шестидесятичными дробями он применяет десятичные дроби с запятой (например, 25,07, помноженное на 14,3, записывается как 358,501), а число 0,16 Kb было известно Каши с 16 десятичными знаками.

В Египте выдающейся личностью был Ибн ал-Хайсам (Алхазен, ок. 965–1039), крупнейший мусульманский физик, «Оптика» которого имела большое влияние на Западе. Он решил «Задачу Алхазена», в которой требуется из двух точек на площади круга провести прямые так, чтобы они встретились в точке окружности и в этой точке образовали равные углы с нормалью. Эта задача приводит к уравнению четвертой степени, она была решена в греческом духе с помощью пересечения гиперболы с окружностью. Алхазен применял также метод исчерпывания для вычисления объемов тел, которые получаются при вращении параболы вокруг какого-либо ее диаметра или ординаты. За сто лет до Алхазена в Египте жил алгебраист Абу Камил, который продолжал труды ал-Хорезми. Он оказал влияние не только на ал-Кархи, но и на Леонардо Пизанского.

Другой центр учености существовал в Испании. В Кордове жил один из самых выдающихся астрономов ал-Заркали (Арзахел, ок. 1029 г. – до примерно 1087 г.), наилучший наблюдатель своего времени и составитель так называемых Толедских планетных таблиц. Тригонометрические таблицы этого труда, который был переведен на латинский язык, оказали определенное влияние на развитие тригонометрии в эпоху Возрождения,

Хотя как почти вся математика Дальнего Востока, так и значительная часть исламской математики создавались в традиционном алгоритмическо-алгебраическом духе, они представляли собой существенное продвижение по отношению к античным методам. Лишь к концу шестнадцатого столетия Западная Европа достигла того же уровня.

7. Начиная с двенадцатого столетия, мы располагаем сведениями о японской математике. Многое здесь находится под китайским влиянием.

В семнадцатом столетии развиваются новые формы, отчасти на основе контактов с Европой. С этого периода на Западе наступает расцвет новых и более высоких форм математики. Относительно китайской математики остается еще указать, что ее нельзя рассматривать как изолированное явление, подобно, скажем, математике майя.

По крайней мере, начиная с эпохи династии Хань (которая существовала примерно одновременно с Римской империей), всегда были значительные торговые и культурные связи с другими частями Азии и даже с Европой. Индийская, а позже арабская наука влияли на науку Китая, и такое влияние могло быть взаимным. Мы имеем в виду, например, десятичную позиционную систему и отрицательные числа, что, весьма возможно, пропутешествовало из Китая в Индию.

Влияние Индии на Китай могло быть обусловлено проникновением в Китай буддизма (первое столетие н.э.). Напротив, греческое влияние, несмотря на некоторое сходство в развитии, мало заметно или вовсе незаметно.

Поэтому, вероятно, исследования об отношении длины окружности к диаметру круга, типичные для периода после династии Хань, велись независимо от Архимеда. Лю Хуэй, составитель дошедшего до нас комментария к «Девяти книгам» (263 г. н. э.), с помощью вписанных и описанных правильных многоугольников нашел, что 0,31 Kb, а двумя столетиями позже Цзу Чун-чжи (430–501) и его сын указали не только значение 0,16 Kb с семью десятичными знаками, но и значения

0,23 Kb и 0,26 Kb.

Во времена династии Тан (618–907) при государственных экзаменах чиновников пользовались собранием важнейших математических текстов. В этот период было изобретено книгопечатание, но первые известные нам напечатанные математические произведения относятся к 1084 г. и более поздним. В 1115 г. появилось печатное издание «Девяти книг».

Уже в книге, составленной Ван Сяо-туном около 625 r., мы находим кубическое уравнение более сложное, чем уравнение 0,2 Kb из «Девяти книг». Но период расцвета древнекитайской математики наступил только во времена династии Сун (960–1279) и первого периода владычества монголов при Юане («Большом хане» из описания путешествия Марко Поло). Из числа ведущих математиков мы упомянем Цинь Цзю-шао, который развивал тогда уже давнюю теорию неопределенных уравнений (его книга датирована 1247 г.). Один из его примеров можно записать следующим образом:

0,55 Kb.

Цинь занимался также численным решением уравнений высших степеней, например

0,45 Kb.

Свои уравнения он решал методом, являющимся обобщением метода последовательных приближений, который применялся уже в «Девяти книгах» для вычисления квадратных и кубических корней. В этом методе мы узнаем прием, который в наших учебниках носит имя Горнера, опубликовавшего его в 1819 г., по-видимому, не зная, что он обнаружил метод, имеющий давность около тысячи лет.

Другим математиком периода Сун был Ян Хуэй, Он работал с помощью десятичных дробей и записывал их в виде, напоминающем нашу современную запись (его книга относится к 1261 г.). Одна из его задач приводит к равенству

0,41 Kb.

У Ян Хуэя мы находим самые давние из дошедших до нас изображений треугольника Паскаля, который мы снова встречаем в книге Чжу Ши-цзе, написанной в 1303 г. Чжу, которого считают самым выдающимся из математиков этого периода, дает в своих книгах наиболее полное изложение китайских арифметико-алгебраических методов вычисления. Он даже переносит «матричное» решение системы линейных алгебраических уравнений на уравнения высших степеней с несколькими неизвестными, применяя методы, напоминающие Сильвестра.

В эпоху после династии Сун математическая деятельность хотя и продолжалась, но уже более не достигла такого расцвета. Вообще мы можем сказать, что в сложных арифметических и алгебраических вопросах математики различных стран Ближнего и Дальнего Востока вполне могут быть сравниваемы друг с другом.

Например, метод Горнера и десятичные дроби мы находим позже в книгах ал-Каши из Самарканда (около 1420 г.).



:: Рекомендуемая литература. Ремендуем покупать учебную литературу в интернет-магазине Озон

VIP Казань — Казань для достойных людей





:: Статистика


математика

Проверить аттестат доверия
Яндекс цитирования

поставьте нашу кнопочку
у себя на сайте =)


 
Задачники: Демидович Б.П. для втузов, Берман Г.Н., Минорский В.П.
:: Copyright © Решебник.Ru :: Решения Кузнецов ::