Кузнецов Л.А. Дифференциальные уравнения. Задача 16

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами

   (1)

с начальными условиями

.   (2)

План решения.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами

.   (3)

Находим фундаментальную систему решений  и  и общее решение однородного уравнения

.

2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных).

Если известна фундаментальная система решений  и  однородного уравнения (3), то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (1) может быть найдено по формуле

,

где функции  и  определяются из системы линейных алгебраических уравнений

   (4)

Интегрируя, находим функции  и  и записываем общее решение неоднородного уравнения.

3. Используя начальные условия (2), находим решение задачи Коши.

Задача 16. Найти решение задачи Коши.

.

Характеристическое уравнение:

.

Общее решение однородного уравнения:

.

Частное решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа). Пусть  и , тогда

Из первого уравнения имеем . Подставляя во второе, получаем

.

Тогда

 и .

,

.

Общее решение исходного уравнения

.

Для решения задачи Коши находим первую производную:

.

Тогда

Откуда .

Решение задачи Коши:

или

.

Предыдущая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей