Кузнецов Л.А. Графики. Задача 4

Наибольшее и наименьшее значение функции

Постановка задачи. Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке .

План решения. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции  на данном отрезке  достигаются в критических точках функции (точках, в которых  или не существует) или на концах отрезка .

1. Ищем производную заданной функции.

2. Находим критические точки функции  и выбираем из них те, которые принадлежат данному отрезку .

3. Вычисляем значения функции в критических точках внутри отрезка и значения функции на концах отрезка. Сравнивая полученные значения, находим наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Замечание. В текстовых задачах часто бывает найти наименьшее или наибольшее значение некоторой величины. Для этого составляем некоторую функцию, находим ее производную и, исходя из «физического» смысла задачи, выбираем нужное значение переменной, учитывая изменения знаков производной при переходе через критическую точку.

Задача 4.

Рыбаку нужно переправиться с  острова на остров  (рис. 1). Чтобы пополнить свои запасы, он должен попасть на участок берега . Найти кратчайший путь рыбака .

Через  обозначим точку, где рыбак сойдет на берег (точка  находится между точками  и ). Тогда

Так как  не удовлетворяет условию задачи, а в точке  производная  меняет знак с «минуса» на «плюс», то в этой точке функция  имеет минимум.

Кратчайшее расстояние:

 (м).

При подготовке к экзамену студент за  дней изучает -ю часть курса, а забывает -ю часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса?

.

Составим функцию: .

.

.

Точка  не удовлетворяет условию задачи, а в точке  производная  меняет знак с «плюса» на «минус», т.е.  – точка максимума.

Ответ: 5 дней.

Тело массой  кг падает с высоты  м и теряет массу (сгорает) пропорционально времени падения. Коэффициент пропорциональности  кг/с2. Считая, что начальная скорость , ускорение  м/с2, и пренебрегая сопротивлением воздуха найти наибольшую кинетическую энергию тела.

Кинетическая энергия: .

Составляем функцию: .

;

;

.

Так как в точке  производная  меняет знак с «плюса» на «минус», то кинетическая энергия будет наибольшей при :

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS 

VIP Казань — Казань для достойных людей