Кузнецов Л.А. Линейная алгебра. Задача 12

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Постановка задачи. Привести кривую второго порядка

         (1)

к каноническому виду.

План решения.

Инварианты относительно переноса начала координат и поворота осей:

.

Полуинвариант уравнения (1) (инвариант относительно поворота осей):

.

В зависимости от значений величин  уравнение (1) определяет одну из следующих линий:

			действительный эллипс
			мнимый эллипс
		пара мнимых сопряженных пересекающихся прямых
		гипербола
		пара действительных пересекающихся прямых
		парабола
			пара мнимых параллельных прямых
			пара действительных параллельных прямых
			пара действительных совпадающих прямых

Ортогональным преобразованием координат

общее уравнение (1) в невырожденном случае () приводится к канонической форме уравнений эллипса (), гиперболы () или параболы ().

1. Избавляемся от слагаемого с произведением переменных (). Для этого поворачиваем систему координат против часовой стрелки на угол :

2. Получив уравнение

,

приводим его к каноническому виду, путем замены .

Задача 12. Исследовать кривую второго порядка и построить ее.

.

Чтобы избавиться от слагаемого с произведением переменных, повернем систему координат против часовой стрелки на угол . При этом

Тогда

.

Получаем:

;

;

.

Замена:

.

Получили каноническое уравнение гиперболы:

Предыдущая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей