Кузнецов Л.А. Дифференциальные уравнения. Задача 4

Линейные уравнения первого порядка

Постановка задачи. Решить задачу Коши для уравнения

     (1)

с начальным условием

.    (2)

План решения.

Способ 1.

1. Ищем решение уравнения (1) в виде

,     (3)

где  и  – неизвестные функции .

2. Уравнение (1) принимает вид

.     (4)

3. Преобразуем уравнение (4) к виду

     (5)

и полагаем . Это не сужает множество решений , т.к. уравнение (5) содержит две неизвестные функции.

4. Решаем уравнение с разделяющимися переменными . Найдя , подставляем его в уравнение (5) и находим .

5. Записываем общее решение уравнения (1) в виде .

6. Используя начальные условия (2), получаем решение поставленной задачи Коши.

Способ 2.

1. Записываем соответствующее однородное линейное уравнение:

.     (6)

Это уравнение с разделяющимися переменными.

2. Разделяя переменные и интегрируя, получим общее решение однородного уравнения (6)

.     (7)

3. Применяем метод вариации произвольной постоянной.

а) ищем решение неоднородного уравнения (1) в виде (7), считая  неизвестной функцией от , т.е. полагая ;

б) подставляем в уравнение (1)  и , определяемые из соотношения (7), где . Из полученного дифференциального уравнения определяем функцию .

4. Общее решение неоднородного уравнения получаем в виде

(7а)

Здесь  содержит произвольную постоянную .

5. Использую начальные условия (2), находим значение и получаем решение поставленной задачи Коши.

Замечание. Иногда бывает удобным представить  как функцию от , т.е. .

Задача 4. Найти решение задачи Коши.

.

Способ 1.

Полагаем . Тогда .

Получаем

Пусть . Тогда

.

.

Общее решение исходного уравнения:

.

Используя начальное условие, находим решение задачи Коши.

.

Частное решение:

.

Способ 2.

Решим соответствующее однородное уравнение:

Полагаем  и подставляем в исходное уравнение.

.

Тогда

.

Используя начальное условие, находим решение задачи Коши.

.

Частное решение:

.

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей