Кузнецов Л.А. Дифференциальные уравнения. Задача 3

Уравнения, приводящиеся к однородным

Постановка задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения вида

.     (1)

План решения.

Если , то уравнение (1) есть, очевидно, однородное. Пусть  и  (или одно из них) отличны от нуля.

1. Делаем замену переменных

, ,     (2)

тогда

.

2. Подставляя в уравнение (1) выражения , , и , будем иметь

.     (3)

3. Подберем  и  так, чтобы выполнялись равенства:

     (4)

т.е. определим  и  как решения системы уравнений (4). При этом условии уравнение (3) становится однородным:

.

Решив это уравнение и перейдя снова к  и  по формулам (2), получим решение уравнения (1).

Замечание 1. Система (4) не имеет решения, если

,

т.е. . Но в этом случае , т.е.  и, следовательно, уравнение (1) можно преобразовать к виду

.     (5)

Тогда подстановкой

     (6)

уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными:

.

Замечание 2. Прием, примененный к интегрированию уравнения (1), применяется и к интегрированию уравнения

,

где  – произвольная непрерывная функция.

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.

Замена: , . Тогда

.

Пусть

Тогда

или

.

Полагаем , откуда  и . Тогда

Общее решение исходного уравнения:

.

Предыдущая задача

Следующая задача

Купить решение своего варианта с оплатой по SMS

VIP Казань — Казань для достойных людей