:: Главная страница | Решение задач:
высшая математика,
эконометрика,
:: |
Навигация | Решебник.Ру / Кузнецов Л.А. Дифференциальные уравнения. Задача 13 |
Кузнецов Л.А. Дифференциальные уравнения. Задача 13Линейные уравнения с постоянными коэффициентамиПостановка задачи. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , где – многочлен степени , – многочлен степени ; , , , – действительные числа. План решения. Общее решение неоднородного линейного уравнения -го порядка имеет следующую структуру: , (1) где , , …, – фундаментальная система решений, – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения. 1. Записываем соответствующее однородное уравнение (2) и ищем его решение в виде , где – неизвестное число. Подставляя , и в уравнение (2) и сокращая , получаем так называемое характеристическое уравнение . (3) 2. Решаем характеристическое уравнение. Обозначим корни характеристического уравнения и . Тогда фундаментальная система решений и общее решение уравнения (2) записываются в одном из следующих трех видов: а) если и вещественны и , то фундаментальная система решений – это , и общее решение имеет вид ; б) если и вещественны и , то фундаментальная система решений – это , и общее решение имеет вид ; в) если и комплексные, т.е. , то фундаментальная система решений – это , и общее решение имеет вид . 3. Ищем какое-либо частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть уравнения имеет вид , (4) то можно применить метод подбора частных решений. Если не является корнем характеристического уравнения (3), то , где и – многочлены степени с неопределенными коэффициентами. Если есть корень характеристического уравнения (3) кратности , то где и – многочлены степени с неопределенными коэффициентами. 4. Находим неопределенные коэффициенты, подставив в исходное уравнение. Записываем ответ в виде (1). Замечание. Аналогично решаются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами любого порядка. Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения. . Характеристическое уравнение: . Общее решение однородного уравнения: . Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: . Находим ; Подставляем в исходное уравнение . Частное решение неоднородного уравнения: . Общее решение исходного уравнения: .
Купить решение своего варианта с оплатой по SMS :: Рекомендуемая литература. Ремендуем покупать учебную литературу в интернет-магазине VIP Казань — Казань для достойных людей
|
||||
:: Статистика |
|
Задачники: Демидович Б.П. для втузов, Берман Г.Н., Минорский В.П. |
:: Copyright © Решебник.Ru :: Решения Кузнецов :: |