решебник.ру - контрольные работы и типовые расчеты высшая математика кузнецов чудесенко
:: Главная страница | Решение задач: высшая математика, эконометрика, ::
Навигация

Решебник.Ру / Глава V. Западная Европа. - Начало

Глава V. Западная Европа. - Начало

7. До сих пор прежние достижения греков и арабов не были заметным образом превзойдены. Классики оставались nec plus ultra (то, чего нет выше) науки. Поэтому, когда итальянские математики в начале шестнадцатого века на деле показали, что можно развить новую математическую теорию, которой не было у древних и у арабов, это было большой и вдохновляющей неожиданностью. Такая теория, которая привела к общему алгебраическому решению кубических уравнений, была открыта Сципионом дель Ферро и его учениками в Болонском университете.

В итальянских городах и после эпохи Леонардо математика занимала второе место. В пятнадцатом столетии мастера счета в Италии владели арифметическими операциями, включая действия с иррациональностями (без каких-либо угрызений математической совести), а итальянские художники были хорошими геометрами. Вазари в своих «Жизнеописаниях» подчеркивает, что художники пятнадцатого века проявили большой интерес к геометрии пространства. Одним из их достижений была разработка теории перспективы такими людьми, как Альберти и Пьеро делла Франческа; последний написал также книгу о правильных телах. Мастера счета нашли своего истолкователя в лице францисканского монаха Луки Пачоли (Pacioli), чья книга «Сумма арифметики», одна из первых печатных математических книг, появилась в 1494 г. Написанная на итальянском языке, притом на не слишком изящном, она содержала все, что тогда знали по арифметике, алгебре и тригонометрии. Отныне пользование индийско-арабскими цифрами стало общепринятым, а арифметические обозначения в этой книге не слишком отличаются от наших. Пачоли закончил свою книгу замечанием, что решение уравнений 0,4 Kb столь же невозможно при современном ему состоянии науки, как и квадратура круга.

Это стало отправной точкой для математиков Болонского университета. Болонский университет в конце пятнадцатого столетия был одним из самых больших и самых известных в Европе. Было время, когда только его астрономический факультет насчитывал шестнадцать лекторов. Студенты толпами устремлялись из всех частей Европы, чтобы слушать здесь лекции, а также на публичные диспуты, которые привлекали многих спортивно настроенных слушателей. В разные времена студентами этого университета были Пачоли, Альбрехт Дюрер и Коперник. Для новой эпохи характерным было стремление не только усвоить науку классиков, но и создать новое, перешагнуть через границы, указанные классиками. Искусство книгопечатания и открытие Америки указывали на наличие таких возможностей. Но можно ли создать новую математику? Древние греки и восточные народы испытывали свою изобретательность на решении уравнений третьей степени, но они только численно решили несколько частных случаев. Теперь же болонские математики пытались найти общее решение.

Эти уравнения третьей степени можно было свести к трем типам:

0,52 Kb,

где 0,18 Kb и 0,18 Kb – положительные числа. Они были тщательно исследованы профессором Сципионом дель Ферро, который умер в 1526 г. Можно сослаться на авторитет Бортолотти, утверждающего, что дель Ферро действительно решил все типы. Он никогда не публиковал своих решений и рассказал о них лишь немногим друзьям. Но об этом открытии стало известно, и после смерти Сципиона венецианский мастер счета, по прозвищу Тарталья (заика), переоткрыл его приемы (1535 г.). Он публично продемонстрировал свои результаты, но по-прежнему держал втайне тот метод, с помощью которого он получил их. Наконец, он раскрыл свои соображения ученому доктору из Милана, Иерониму Кардано, который поклялся, что будет хранить их втайне. Однако, когда Кардано в 1545 г. опубликовал свою внушительную книгу по алгебре «Великое искусство» (Ars magna), Тарталья с возмущением обнаружил, что в ней полностью раскрыт его метод, с должным признанием заслуг автора открытия, но тем не менее уворованный. Завязалась ожесточенная полемика, с обеих сторон сыпались оскорбления. Защитником Кардано был молодой ученый из дворян Людовико Феррари. Эта перепалка породила несколько интересных документов, среди них «Вопросы» (Quaesiti) Тартальи (1546 г.) и «Вызовы» (Cartelli) Феррари (1547–1548 гг.), которые довели до всеобщего сведения всю историю этого замечательного открытия.

Полученное решение теперь известно как формула Кардано, и в случае уравнения 0,29 Kb оно имеет вид

0,97 Kb.

Мы видим, что это решение вводит выражения вида

0,31 Kb,

отличные от евклидовых.

«Великое искусство» Кардано содержало и другое блестящее открытие: метод Феррари сведения решения общего уравнения четвертой степени к решению кубического уравнения. Уравнение Феррари имело вид 0,36 Kb, он его сводил к уравнению 0,42 Kb. Кардано рассматривал и комплексные числа, называя их «вымышленными», но он не был в состоянии что-либо сделать в так называемом «неприводимом случае» уравнения третьей степени, когда налицо три действительных корня, но они получаются в виде суммы или разности чисел, называемых теперь мнимыми.

Эта трудность была преодолена последним из больших болонских математиков шестнадцатого века, Рафаэлем Бомбелли, чья «Алгебра» появилась в 1572 г. В этой книге и в «Геометрии», написанной около 1550 г. и оставшейся в рукописи, он вводит последовательную теорию мнимых и комплексных чисел. Он записывает 0,18 Kb как 0,25 Kb (буквально так: 0,31 Kb, где 0,18 Kb обозначает корень (radix), а 0,18 Kb обозначает meno, т. е. меньше, минус). Это позволило Бомбелли разрешить неприводимый случай, показав, например, что

0,55 Kb.

Книгу Бомбелли читали многие: Лейбниц изучал по ней кубические уравнения, Эйлер цитирует Бомбелли в своей «Алгебре», в главе об уравнениях четвертой степени. Отныне комплексные числа потеряли кое-что из сверхъестественности, хотя полное их признание произошло только в девятнадцатом столетии.

Любопытен тот факт, что впервые мнимости были введены в теории кубических уравнений в том случае, когда было ясно, что действительное решение существует, хотя и в нераспознаваемом виде, а не в теории квадратных уравнений, в которой они появляются в наших современных учебниках.

8. Алгебра и арифметика в течение многих десятилетий оставались у математиков любимым объектом исследований. Это стимулировалось не только Rechenhaftigkeit торговой буржуазии, но также и запросами землемерия и мореплавания, которые выдвигались правительствами новых национальных государств. Инженеры были нужны для возведения публичных зданий и военных сооружений. Астрономия, как и в предыдущие периоды, оставалась важной областью математических исследований. Это было время великих астрономических теорий Коперника, Тихо Браге и Кеплера. Возникло новое представление о вселенной.

Философская мысль отражала тенденции научного мышления, и Платон с его преклонением перед количественным и математическим рассуждением начал брать верх над Аристотелем. В частности, влияние Платона очевидно в работах Кеплера. Появлялись все более точные тригонометрические и астрономические таблицы, прежде всего в Германии. Таблицы Ретика (G. J. Rhäticus), законченные в 1596 г. его учеником Валентином Ото (Otho), содержали значения всех шести тригонометрических величин через каждые десять секунд с десятью знаками. Таблицы Питискуса (Pitiscus, 1613 г.) были доведены до пятнадцатого знака. Совершенствовалась техника решения уравнений, углублялось понимание природы их корней. Для этой эпохи характерен публичный вызов, сделанный в 1593 г. бельгийским математиком Адриеном ван Роменом (Roomen), решить уравнение сорок пятой степени

0,7 Kb.

Ван Ромен указал некоторые частные случаи, например

0,54 Kb,

что дает

0,63 Kb.

Эти случаи подсказаны рассмотрением правильных многоугольников. Франсуа Виет, французский юрист, состоявший при дворе Генриха IV, решил задачу ван Ромена, заметив, что левая часть уравнения соответствует выражению 0,23 Kb через 0,29 Kb. Поэтому решение можно найти с помощью таблиц. Виет нашел двадцать три решения вида 0,49 Kb, отбрасывая отрицательные корни.

Он также свел решение Кардано кубического уравнения к тригонометрическому, и при этом неприводимый случай перестал быть устрашающим, так как дело обошлось без введения выражений вида 0,25 Kb. Такое решение можно теперь найти в учебниках высшей алгебры.

Главное достижение Виета состоит в усовершенствовании теории уравнений (например, в работе «Введение в аналитическое искусство», In artem analyticam isagoge, 1591 г.). Он был одним из первых, кто числа изображал буквами. Использование численных коэффициентов, даже в «риторической» алгебре школы Диофанта, препятствовало общему рассмотрению алгебраических задач. Работы алгебраистов шестнадцатого века («коссистов», от итальянского слова cosa – «вещь», «нечто», – которым обозначали неизвестное) написаны с помощью очень сложных обозначений. Но «видовая логистика» Виета означала появление (наконец-то) общей символики, в которой буквы были использованы для выражения численных коэффициентов, знаки «+» и «–» применялись в нашем современном смысле, а вместо 0,2 Kb писали: «0,18 Kb квадратное». Эта алгебра все еще отличалась от нашей из-за того, что Виет придерживался греческого принципа однородности, согласно которому произведение двух отрезков обязательно рассматривалось как площадь и в соответствии с этим отрезки можно было складывать только с отрезками, площади с площадями, объемы с объемами. Даже сомневались в том, имеют ли смысл уравнения степени выше третьей, так как они могли быть истолкованы лишь в четырех измерениях, а это едва ли можно было понять в те времена.

В описываемый период вычислительная техника достигла новых высот. Виет улучшил результат Архимеда и нашел 0,18 Kb с девятью десятичными знаками. Вскоре после того 0,18 Kb было вычислено с тридцатью пятью десятичными знаками Лудольфом ван Цейленом (Ludolf van Ceulen) из Дельфта, использовавшим описанные и вписанные правильные многоугольники со все большим и большим числом сторон. Виет нашел также выражение 0,18 Kb в виде бесконечного произведения (1593 г.); в наших обозначениях

0,66 Kb.

Усовершенствование техники было результатом усовершенствования обозначений. А новые результаты показывают, что было бы неверным заявлять, будто люди, подобные Виету, «всего лишь» усовершенствовали обозначение. Подобные заявления пренебрегают глубокой зависимостью между содержанием и формой. Новые результаты часто становятся возможным лишь благодаря новому способу записи. Одним из примеров этого является введение индийско-арабских цифр, другим примером может быть символика Лейбница в анализе. Подходящее обозначение лучше отображает действительность, чем неудачное, и оно оказывается как бы наделенным собственной жизненной силой, которая в свою очередь порождает новое. За усовершенствованием обозначений Виета поколение спустя последовало применение алгебры к геометрии у Декарта.

9. В новых торговых государствах, особенно во Франции, Англии и Голландии, был большой спрос на инженеров и «арифметиков». Астрономия процветала во всей Европе. После открытия морского пути в Индию итальянские города уже не были на магистральной дороге, ведущей на Восток, хотя они еще оставались важными центрами. Вот в связи с этим мы среди великих математиков и вычислителей начала семнадцатого века видим инженера Симона Стевина, астронома Иоганна Кеплера, землемеров Адриана Влакка и Езекииля де Деккера.

Стевин, бухгалтер из Брюгге, стал инженером в армии принца Морица Оранского, оценившего в нем сочетание здравого смысла, оригинальности и теоретического мышления. В работе «Десятая» (La disme, 1585 г.) он ввел десятичные дроби, что было составной частью проекта унификации всей системы мер на десятичной основе. Это было одним из больших усовершенствований, которые стали возможными благодаря всеобщему принятию индийско-арабской системы счисления.

Другим большим усовершенствованием вычислительной техники было изобретение логарифмов. Некоторые математики шестнадцатого столетия в известной мере занимались сопоставлением арифметической и геометрической прогрессий, главным образом с целью облегчить работу со сложными тригонометрическими таблицами. Важным достижением на этом пути мы обязаны шотландскому лорду Джону Неперу (Neper или Napier), который в 1914 г. напечатал свое «Описание удивительного канона логарифмов» (Mirifici logarithmorum canonis descriptio). Основной идеей Непера было построение двух последовательностей чисел, связанных таким образом, что когда одна из них возрастает в арифметической прогрессии, другая убывает в геометрической. При этом произведение двух чисел второй последовательности находится в простой зависимости от суммы соответствующих чисел первой последовательности и умножение можно свести к сложению. С помощью такой системы Непер мог значительно облегчить вычислительную работу с синусами. Первоначальный способ Непера был в достаточной мере неуклюжим, так как его две последовательности соответствовали, в современных обозначениях, формуле

0,27 Kb (или 0,33 Kb),

где 0,24 Kb.

Когда 0,25 Kb, мы получаем не 0,25 Kb, a

0,31 Kb

Такая система не удовлетворяла и самого Непера, как он сообщил своему почитателю Генри Бриггсу, профессору одного из лондонских колледжей. Они решили выбрать функцию 0,25 Kb, при которой 0,25 Kb действительно дает

0,25 Kb.

После смерти Непера Бриггс осуществил это предложение и в 1624 г. опубликовал свою «Логарифмическую арифметику», содержавшую «бригговы» логарифмы с четырнадцатью знаками для целых чисел от 1 до 20000 и от 90000 до 100000.

Пробел от 20 000 до 90000 был заполнен Езекиилем де Деккером, голландским землемером, который с помощью Влакка опубликовал в 1627 г. полную таблицу логарифмов.

Новое изобретение сразу же приветствовали математики и астрономы, в частности Кеплер, который до этого приобрел большой и нелегкий опыт в деле обширных вычислений.

Данное здесь истолкование логарифмов с помощью показательной функции исторически в известной мере ложно, так как понятие показательной функции восходит только к концу семнадцатого века. У Непера не было понятия основания логарифмов.

Натуральные логарифмы, связанные с функцией 0,22 Kb, появились почти одновременно с бригговыми, но их фундаментальное значение было понято лишь тогда, когда стали лучше понимать исчисление бесконечно малых.



:: Рекомендуемая литература. Ремендуем покупать учебную литературу в интернет-магазине Озон

VIP Казань — Казань для достойных людей





:: Статистика


математика

Проверить аттестат доверия
Яндекс цитирования

поставьте нашу кнопочку
у себя на сайте =)


 
Задачники: Демидович Б.П. для втузов, Берман Г.Н., Минорский В.П.
:: Copyright © Решебник.Ru :: Решения Кузнецов ::